CC282. Calcule o valor de
$$(3^{4/3}-3^{1/3})^3+(3^{5/3}-3^{2/3})^3+(3^{6/3} -3^{3/3})^3+\cdots+(3^{2006/3}-3^{2003/3})^3$$
Solução.
Temos uma GP (progressão geométrica) de termos de 2003, com razão $r = 3=3^{3/3}$ e primeiro termo $a_1=24$, porque: $(a-b)^3=a^3-3a ^2b+3ab^2-b^3$, em breve:
$$a_1=(3^{4/3}-3^{1/3})^3=3^4-3(3^{8/3})(3^{1/3})+3( 3^{4/3})(3^{2/3})-3=81-81+27-3=24$$
Sabemos que $$S_n = a_1 \left(\frac{r^n-1}{r-1}\right)$$
Portanto: $$S_{2003}=24\left(\frac{3^{2003}-1}{3-1}\right)=12(3^{2003}-1)=4(3^{2004}-3)\approx 5,66\times 10^{956}.$$
Solução enviada para a revista e aceita como correta: https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv44n8.pdf (pag. 46)
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