Equação de Gauss para hipersuperfícies

A equação de Gauss conecta a curvatura intrínseca da hipersuperfície (uma propriedade mensurável apenas dentro dela) à sua curvatura extrínseca (como ela se encaixa no espaço ambiente). Antes de apresentar a fórmula, vamos definir os conceitos principais:

• Vetores tangentes: $X,Y,Z,W$ são vetores tangentes à hipersuperfície $M^n$ em um ponto.
• Segunda forma fundamental ($II$): Um tensor simétrico que mede a curvatura extrínseca, ou seja, como a hipersuperfície se curva em ${\mathbb{R}}^{n+1}$.
• Tensor de curvatura ($R$):  Associado à conexão de Levi-Civita $\mathrm{\nabla }$ da hipersuperfície, ele descreve a curvatura intrínseca.
• Produto interno: Denotado por $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, é induzido pela métrica de ${\mathbb{R}}^{n+1}$.

A equação de Gauss para uma hipersuperfície $M^n$ imersa em ${\mathbb{R}}^{n+1}$ é dada por:

$$⟨R(X,Y)Z,W⟩=⟨II(X,Z),II(Y,W)⟩-⟨II(X,W),II(Y,Z)⟩$$