Vamos calcular a curvatura seccional da esfera unitária, utilizando a equação de Gauss

Passo 1: Segunda Forma Fundamental

Para a esfera unitária $S^n(1)$, a segunda forma fundamental é:

$$II(X,Y)=⟨X,Y⟩N$$

onde $N$ é o vetor normal unitário, e $X,Y$ são vetores tangentes à esfera.

Passo 2: Equação de Gauss

Como $S^n(1)$ está imersa em ${\mathbb{R}}^{n+1}$, que é plano, a equação de Gauss é:

$$⟨R(X,Y)Z,W⟩=⟨II(X,Z),II(Y,W)⟩-⟨II(X,W),II(Y,Z)⟩$$

Substituindo $II$

$$⟨R(X,Y)Z,W⟩=⟨⟨X,Z⟩N,⟨Y,W⟩N⟩-⟨⟨X,W⟩N,⟨Y,Z⟩N⟩$$

Simplificando (já que $⟨N,N⟩=1$

$$⟨R(X,Y)Z,W⟩=⟨X,Z⟩⟨Y,W⟩-⟨X,W⟩⟨Y,Z⟩$$

Passo 3: Curvatura Seccional

A curvatura seccional $K(X,Y)$ para um plano gerado por $X$ e $Y$ (ortogonais e unitários, para simplificar) é dada por:

$$K(X,Y)=⟨R(X,Y)X,Y⟩$$

Vamos calcular com essa convenção:

$$⟨R(X,Y)X,Y⟩=⟨X,X⟩⟨Y,Y⟩-⟨X,Y⟩⟨X,Y⟩=1\cdot 1-0\cdot 0=1$$

Assim, para $X$ e $Y$ ortogonais e unitários:

$$K(X,Y)=1$$