Teorema de Noether no Livro de Vladimir Arnold

Seja \( M \) uma variedade suave e \( L: TM \to \mathbb{R} \) uma função suave no fibrado tangente. O sistema \( (M, L) \) admite um mapa \( h: M \to M \) se \( L(h_* v) = L(v) \) para \( v \in TM \). Se o sistema admite um grupo uniparamétrico de difeomorfismos \( h^s: M \to M \), então existe uma integral primeira \( I: TM \to \mathbb{R} \) dada por \( I(q, \dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \left. \frac{d h^s(q)}{ds} \right|_{s=0} \).
Exemplo Simples: Conservação do Momento Linear (Partícula Livre)
Considere \( M = \mathbb{R}^n \), com lagrangiana \( L(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} m \|\dot{q}\|^2 \), e simetria de translação \( h^s(q) = q + s a \), onde \( a \in \mathbb{R}^n \) é um vetor fixo (ex.: \( a = e_1 = (1,0,\dots,0) \)).
Invariância da Lagrangiana
\[
L(h^s(q), h^s_* \dot{q}) = L(q + s a, \dot{q}) = \frac{1}{2} m \|\dot{q}\|^2 = L(q, \dot{q}).
\]
Derivada da Lagrangiana (Momento)
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = m \dot{q}_i \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m \dot{q}.
\]
Gerador do Grupo
\[
\left. \frac{d h^s(q)}{ds} \right|_{s=0} = \left. \frac{d}{ds} (q + s a) \right|_{s=0} = a.
\]
Integral Primeira (Quantidade Conservada)
\[
I(q, \dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot a = (m \dot{q}) \cdot a = m (\dot{q} \cdot a).
\]
Conservação
As equações de Lagrange são
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0,
\]
então
\[
\frac{d}{dt} (m \dot{q}) = 0,
\]
implicando
\[
\frac{d I}{dt} = m a \cdot \frac{d \dot{q}}{dt} = 0.
\]